Na divisão dos lucros com seus 20 acionistas, uma empresa distri-buiu R$ 600,00 entre os preferenciais e R$ 600,00 entre os ordinários. Sabe-se que cada acionista preferencial recebeu R$ 80,00 a menos do que cada acionista ordinário.

Determine quantos acionistas preferenciais esta empresa possui.

Cálculos e respostas: AP no de acionistas preferenciais AO no de acionistas ordinários AO + AP = 20 AO = 20 - AP 600 (AP – 20 + AP) = 80 AP(20-AP) 1200 (AP – 10) = 80 AP(20-AP) 15AP – 150 = 20AP – AP2 AP2 – 5AP – 150 = 0 15 - 10 O número de acionistas preferenciais é 15.

No triângulo retângulo representado abaixo cada um dos catetos mede 3 cm.


Considere um ponto C da hipotenusa e o retângulo ABCD, sendo x a medida de .

Determine:

1. a área S do retângulo ABCD em função de x;
2. para que valor(es) de x se tem S £ 1,25 cm².

Cálculos e respostas: S = x . h Mas, AEF ~DCF Logo, . Assim, h = 3 - x

Cálculos e respostas: a) S = x(3 – x) = 3x – x2 , 0 £ x £ 3   b) 0 < S £ 1,25 3x – x2 £ 1,25 – x2 + 3x – £ 0    x2 – 3x + ³ 0 Raízes :  Logo, x £ ou x ³ Por outro lado, 3x – x2 > 0  Û x2 – 3x < 0 Þ x(x – 3) < 0 0 < x < 3 Logo, 0 < x £ ou £ x < 3

Considere o cubo de vértices A, B, C, D, E, F, G e H representado na figura abaixo.

Sabendo que a área do triângulo DEC é m², calcule o volume da pirâmide cujos vértices são D, E, G e C.

Cálculos e respostas: Como o triângulo EDC é retângulo em D, sua área é dada por Considerando x a aresta do cubo, temos e Assim, x2 = 1   Þ   x=1 O volume da pirâmide será dado por

4^a Questão: (2,0 pontos)

A circunferência C₁, de raio 1, é tangente aos eixos coordenados, conforme representação abaixo.

Determine a equação da circunferência C₂, tangente simultaneamente aos eixos coordenados e à C₁.

Cálculos e respostas: Nestas condições, o centro está sobre a reta y = x, portanto sua equação é (x –a)2 + (y – a)2 = r2. Como a = r, tem-se (x – r)2 + (y – r)2 = r2 Resta determinar o valor de r No triângulo isósceles PQR: e sen 45o = Daí 2 – 2r = Cálculos e respostas: 2r + r = 2 – Þ r = Eq:

5^a Questão: (2,0 pontos)

Determine a relação entre os números reais a e b de modo que as igualdades

1 + cos x = a sen x e 1 – cos x = b sen x,

com x ¹ k p , k Î ,    sejam satisfeitas simultaneamente.

Cálculos e respostas: 1 + cos x =a sen x 1 – cos x = b sen x ( 1 + cos x) (1 – cos x) = ab sen2 x Þ 1 – cos2 x = ab sen2 x Þ sen2 x = ab sen2 x Como x ¹ k p , temos que ab = 1